\(4B=4x^2+4xy+4y^2-8x-12y+8076\)

= \(\left(2y\right)^2-4y\left(3-x\right)+\left(3-x\right)^2-\left(3-x\right)^2\)

\(+\left(2x\right)^2-8x+8076\)

= \(\left(2y-3+x\right)^2+3x^2-2x+8076\)

đến đây thì dễ rồi

\(B=x^2+\frac{y^2}{4}+1+xy-2x-y+\frac{3}{4}\left(y^2-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}\right)+\frac{6056}{3}\)

\(B=\left(x+\frac{y}{2}-1\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{6056}{3}\ge\frac{6056}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Thành Phát

P = x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010 ⇒ 4P = 4(x² + xy + y² - 3x - 3y + 2010) 

= 4x² + 4xy + 4y² - 12x - 12y + 8040 = 4x² + 4xy + y² + 3y² - 12x - 6y - 6y + 3 + 9 + 8028 

= (4x² + 4xy + y²) - (12x + 6y) + 9 + (3y² - 6y + 3) + 8028 

= [ (2x + y)² - 6(2x + y) + 9 ] + 3(y² - 2y + 1) + 8028 

= (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028. Do (2x + y - 3)² ≥ 0 và 3(y - 1)² ≥ 0 

⇒ (2x + y - 3)² + 3(y - 1)² + 8028 ≥ 8028 ⇒ 4P ≥ 8028 ⇒ P ≥ 2007. 

Dấu '=' xảy ra ⇔ 3(y - 1)² = 0 và (2x + y - 3)² = 0 

⇔ y - 1 = 0 và 2x + y - 3 = 0 

⇔ y = 1 và x = (3 - y)/2 = (3 - 1)/2 = 1

Vậy với x = y = 1 thì GTNN của P là 2007.

-2x chứ đâu phải -3x đâu bạn

Có: \(\hept{\begin{cases}2x^2-xy-y^2=P\\x^2+2xy+3y^2=4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x^2-4xy-4y^2=4P\\Px^2+2xy+3Py^2=4P\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow8x^2-4xy-4y^2-Px^2-2Pxy-3Py^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(8-P\right)x^2-xy\left(4+2P\right)-y^2\left(4+3P\right)=0\)

* Với \(y=0\)

\(\Rightarrow\left(8-P\right)x^2=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}8-P=0\\x=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}P=8\\P=0\end{cases}}\)

* Với \(y\ne0\), đặt \(t=\frac{x}{y}\)

\(pt\Leftrightarrow\left(8-P\right)t^2-\left(4+2P\right)t-\left(4+3P\right)=0\)

   - Nếu \(P=8\Rightarrow t=-\frac{7}{5}\)

   - Nếu \(P\ne8\Rightarrow\)pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Rightarrow\left(4+2P\right)^2-4\left(8-P\right)\left(4+3P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow16+8P+4P^2-4\left(32-3P^2+20P\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-8P^2+96P+144\ge0\)

\(\Leftrightarrow6-3\sqrt{6}\le P\le6+3\sqrt{6}\)

Vậy \(MinP=6-3\sqrt{6};MaxP=6+3\sqrt{6}\)

⇒ 8 − P x
2 = 0⇒ 8 − P = 0
x = 0 ⇒ P = 8
P = 0
* Với y ≠ 0, đặt t =
y
x
pt⇔ 8 − P t
2 − 4 + 2P t − 4 + 3P = 0
   - Nếu P = 8⇒t = −
5
7
   - Nếu P ≠ 8⇒pt có nghiệm ⇔Δ ≥ 0⇒ 4 + 2P
2 − 4 8 − P 4 + 3P ≥ 0
⇔16 + 8P + 4P
2 − 4 32 − 3P
2
+ 20P ≥ 0
⇔− 8P
2
+ 96P + 144 ≥ 0
⇔6 − 3 6 ≤ P ≤ 6 + 3 6
Vậy MinP = 6 − 3 6 ;MaxP = 6 + 3 6

Trả lời:

1, \(P=9x^2-7x+2=9\left(x^2-\frac{7}{9}x+\frac{2}{9}\right)=9\left[\left(x^2-2x\frac{7}{18}+\frac{49}{324}\right)+\frac{23}{324}\right]\)

\(=9\left[\left(x-\frac{7}{18}\right)^2+\frac{23}{324}\right]=9\left(x-\frac{7}{18}\right)^2+\frac{23}{36}\)

Ta có: \(9\left(x-\frac{7}{18}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-\frac{7}{18}\right)^2+\frac{23}{26}\ge\frac{23}{26}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-\frac{7}{18}=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{18}\)

Vậy GTNN của P = 23/36 khi x = 7/18

\(A=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+2047\)

   \(=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12\left(x^2-2x\right)+3y\left(y+6\right)+2047\)

   \(=y\left(y+6\right)\left(x^2-2x\right)+12\left(x^2-2x+3\right)+3y\left(y+6\right)+2011\)

   \(=y\left(y+6\right)\left(x^2-2x+3\right)+12\left(x^2-2x+3\right)+2011\)

   \(=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2011\)

   \(=\left[\left(x-1\right)^2+2\right].\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2011\ge2.3+2011=2017\)

Dấu "=" xảy ra khi: 

\(\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của A là 2017 khi \(x=1,y=-3\)